Contoh Kofisien Korelasi Rank Spearman

Fungsi
Dari semua statistik yang didasarkan atas ranking (jenjang), koefisien korelasi rank Spearman adalah yang paling awal dikembangkan dan mungkin yang paling dikenal dengan baik hingga kini. Statistik ini, kadang-kadang disebut rho, di sini ditulis dengan rs. Ini adalah ukuruan asosiasi yang menuntut kedua variable diukur sekurang-kurangnya dalam skala ordinal sehingga obyek-obyek atau individu-individu yang dipelajari dapat di-ranking dalam dua rangkaian berurut.

Dasar Pemikiran
Misalkan N individu di-ranking menurut dua variabel. Misalnya : kita mungkin mengatur sekelompok siswa dalam urutan berdasarkan skor-skor mereka pada tes masuk perguruan tinggi, dan juga dalam urutan berdasarkan indeks prestasi mereka pada akhir tahun pertama. Jika ranking pada tes masuk itu dinyatakan sebagai X1,X2,X3,…,XN dan ranking indeks prestasi mereka diawali dengan Y1,Y2,Y3,…,YN, kita dapat menggunakan suatu ukuran korelasi dan rank untuk menetapkan hubungan antara X dan Y.
Kita dapat melihat bahwa korelasi antara rank tes masuk Perguruan Tinggi dan indeks prestasi akan sempurna jika, dan hanya jika Xi = Yi untuk semua i. Oleh sebab itu masuk akal kiranya jika kita menggunakan selisih-selisih di = Xi – Yi sebagai petunjuk perbedaan antara kedua himpunan ranking itu. Misalkan Mary McCord mendapatkan skor puncak pada ujian masuk tapi menempati urutan kelima dalam indeks prestasi di kelasnya. Mary akan mempunyai d sebesar -4. Di pihak lain, John Stainslowski menduduki tempat kesepuluh ada ujian masuk tetapi menjadi juara kelas. John mempunyai d sebesai 9. Ukuran besar berbagai di ini membuat kita memperoleh gagasan mengenai seberapa erat hubungan antara kedua skor ujian masuk dengan indeks prestasi. Jika hubungan antara kedua himpunan rank itu sempurna. Setiap di akan sama dengan nol.
Selanjutnya, dalam menghitung suatu koefisien korelasi akan canggung jika kita menggunakan harga di secara langsung. Satu kesulitan adalah bahwa di negative akan menghapuskan di yang positif ketika kita berusaha menentukan jumlah perbedaannya. Tetapi jika yang kita gunakan adalah di2, dan bukannya di, kesulitan ini teratasi. Jelaslah bahwa makin besar harga-harga di, makin besar pulalah harga Σdi2.
Penjabaran rumus untuk menghitung rs cukup sederhana. Akan kita sajikan di sini, sebab hal ini membantu menunjukkan sifat-hakikat koefisien itu, dan juga karena penjabaran tersebut akan mengungkapkan bentuk-bentuk lain yang dapat dipakai untuk menyatakan rumus itu. Satu di antara kemungkinan-kemungkinan bentuk yang lain itu akan dipergunakan nanti bila kita perlu melakukan koreksi koefisiennya karena adanya skor-skor beraneka-sama.
Jika x = X – X, di mana X mean skor pada variable X, dan jika y = Y – Y, maka rumus umum suatu koefisien korelasi adalah (Kendall,1948a, Bab 2)

        r  =       Σxy____                                 (9.2)
                 √ Σx2Σy2


di mana jumlah-jumlah mencakup harga-harga N dalam sampelnya.
Sekarang bila X dan Y adalah harga-harga rangking r = rq dan jumlah N bilangan bulat 1, 2, …, N adalah

        ΣX = N (N + 1)
               2

dan jumlah kuadrat bilangan-bilangan itu 12, 22, …., N2 dapat ditunjukkan sebagai
Σ X2 = N (N + 1) (2N + 2)
                 6
                                              
Oleh sebab itu, Σx2 = Σ (X – X)2 = ΣX2 – (ΣX)2
                             N

dan  Σx2 = N (N + 1) (2N + 1) – N(N + 1)2
                6                  4                        (9.3)
      = N2 – N
                    12
dan demikian pula Σy2 = N3 – N
                      12

Sekarang         d  = x – y
            d2 = (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
                  Σd2 = Σx2 + Σy2 - 2Σxy
Tetapi rumus (9.2) menyatakan bahwa :

    r =   ___Σxy___   = rs
             √ Σx2Σy2           

Jika observasi-observasi itu di-ranking. Oleh sebab itu,
                   
        Σd2 = Σx2 + Σy2 – 2rs Σx2Σy2

dan dengan demikian rs = Σx2 + Σy2 – Σd2                               (9.4)                                         
                2 Σx2Σy2

Dengan X dan Y dalam rank, dapat kita mensubsitusikan

Σx2 = N3 – N  = Σy2
       12






Ke dalam rumus (9.4), dan mendapatkan :
       
        N3 – N + N3 – N   _ Σd 2
12
rs    =
2 √ (N3 – N) (N3 – N)
    12       12

                     2 (N3 – N) – Σd2
          =                12
                 2 (N3 – N)
   12

   
rs   =  1 - __Σd2___                                (9.6)
              N3 – N
                  6
          = 1 -   __6Σd2__
               N3 – N
                       

Karena d = d = x – y = (X – X) (Y – Y) = X – Y, karena X = Y dalam rank dapat kita tuliskan            
     N
            6 Σ d i2
        rs =   1 -         i = 1                                (9.7)
               N3 - N

Rumus (9.7) ini adalah yang paling enak untuk menghitung rs Spearman.